SiET
EXEMPLES DE FENÒMENS COMPLEXOS
(Laboratori Virtual)
Novembre 2001
L'equació logística
és un dels exemples més senzills per explicar el fenomen de caos determinista. Es tracta d'una equació iterativa
discreta que segueix la següent llei:
L'atractor de Lorenz és un atractor extrany, fruit del caos que presenten les equacions simplificades de Lorenz que descriuen el temps meteorològic. Té una forma de papallona molt característica i és freqüentment usat com a exemple degut a que va ser el primer atractor que es va descobrir.
El model d'Ising és un model per a estudiar els materials magnètics formats per petits espins magnètics. Està basat en un autòmata cel·lular, en el qual els elements poden tenir els valors 1 o -1. Els espins poden canviar la orientació degut als seus veins o a la temperatura. Per a certa temperatura crítica es produeix una transició de fase en que el sistema no és ni en el règim ordenat (tots els espins en al mateixa direcció) ni aleatori (els espins giren a l'atzar degut a la temperatura).
El triangle de Sierpinsky és molt utilitzat com a exemple de fractal. És un fractal regular que es basa en un triangle. Partint d'un triangle equilàter de color negre, es pot partir aquest en 4 triangles equilàters de costat la meitat de l'original, i treure el triangle central. Considerant que els tres triangles que queden són com l'inicial, la repetició del procés dóna lloc al triangle de Sierpinsky.
Creat per Sergei S. Maslov
La pila de sorra és un dels millors exemples de sistema auto-organitzat crític. Si imaginem algú que diposita regularment grans de sorra en el mateix punt, una pila de sorra es formarà tard o d'hora. Aquest és en un punt crític auto-organitzat ja que si el pendent és molt gran tendeix a haver-hi petites esllevissades, i si el pendent és baix, la sorra s'hi acumula. El sistema s'automanté en un pendent crític constant.
Els terratrèmols s'han caracteritzat com a fenòmens crítics auto-organitzats recentment. El model que els caracteritza com a tal és senzill, però captura els components essencials. En una graella quadrada on cada casella es modela com a una petita parcel·la de terreny, sotmesa a una tensió. Les cel·les acumulen aquesta tensió fins que arriben a un llindar en el qual alliberen tota la tensió a les seves veïnes. Aquestes cel·les veïnes, en rebre aquesta tensió, poden acumular-la o tornar-la a alliberar, cosa que pot crear una cadena que es tradueix en un petit terratrèmol. La freqüència de grandària de terratrèmols segueix una llei de Zipf: la llei de Gutenberg-Richter que dona lloc a la coneguda escala de Richter.
La cerca de menjar en formigues o foraging
Les formigues quan cerquen menjar, i en especial certes
espècies de la selva tropical, fan servir feromones per guiar-se.
La feromona, que les formigues detecten i poden segregar, serveix per
compartir informació sobre els camins que porten al menjar que
s'ha anat trobant. Aquests camins es formen de forma autoorganitzada per
la deposició constant de feromona i les normes simples que té cada
formiga són:
0. Busca aleatòriament.
1. Si trobes mejar, ves al formiguer i segrega feromoma pel camí.
2. Si trobes una traça de feromona, segueix-la i quan trobis el menjar
segueis la norma 1.
La llei de Zipf treballa sobre les distribucions d'abundància de certs fenòmens. Per exemple, és conegut que un terratrèmol d'escala 2 és 10 vegades més fort que un d'escala 1. I un d'escala 3 és 10 vegades més fort que un d'escala 2. La freqüència de grandària de terratrèmols segueix una llei de Zipf anomenada llei de Gutenberg-Richter que dona lloc a la coneguda escala de Richter. Aquesta llei potencial apareix en molts sistemes biològics i humans, i sol correspondre a sistemes en punts crítics.
Creat per Wayne Davis
El dilema del presoner: "Tit for Tat"
El dilema del presoner es un joc on som acusats de cometre un crim juntament amb Llucifer (l'adversari) i se'ns proposa una tria: cooperar amb l'adversari o no fer-ho. El resultat (reducció de la pena) depèn del que facin els dos jugadors que no coneixen el que fa l'altre. L'aplicació iterativa del dilema permet observar les millors estratègies de cooperació.
El problema dels tres cossos (Poincaré)
Després que Newton resolgués el problema de l'òrbita d'un planeta al voltant del sol, el repte natural va ser trobar la solució per 2 planetes . Molts del millors matemàtics i físics varen treballar en aquest problema el segle passat.
Visualitzar les trajectòries és fàcil, però quan es fan quasi periòdiques o caòtiques resulta més fàcil utilitzar les seccions de Poincaré. Si considerem un hiperplà en l'espai de fases, es dibuixa un punt en qualsevol part de la trajectòria que travessa el pla. Això fa que tinguem una representació gràfica del pla per ell mateix (la representació del primer retorn de Poincaré). Les maneres que s'utilitzen per representar i entendre els sistemes dinàmics resulten molt canviants i atractives.
http://www.physics.cornell.edu/sethna/teaching/sss/jupiter/Web/Rest3Bdy.htm
El joc de la vida de Conways
El joc de la vida és un autòmata cel·lular ideat per John Conway, en dues dimensions que simula el creixement i mort de poblacions. És totalista, que vol dir que la seva regla no depèn de la disposició exacta dels veins sinó del número de veins que envolten una cel·la que estan en un cert estat. La regla és simplement que una cel·la que ja esta viva mor si no té 2 o 3 cel·les veïnes i una cel·la morta només neix si hi ha 3 cel·les al seu voltant. Aquest autòmata és molt especial per molts motius i dona lloc a recerca constant.
La disseminació cultural d'Axelrod
La teoria de la Complexitat es un nou paradigma per entendre els processos dinàmics on interaccionen molts actors. Una primera metodologia està basada en la modelització basada en agents. La modelització basada en agents consisteix en veure com els agents individuals (per exemple persones, nacions, o organitzacions) interactuen amb els altres i amb l'entorn. La simulació s'utilitza per descobrir les propietats emergents del model, i per descobrir els punts clau del procés dinàmic que poden ser difícils de modelitzar amb les tècniques matemàtiques estàndards.
Creat per A.K.Dewdney
El model predador-presa (Lotka-Volterra)
WATOR és una simulació de la interacció amb el temps d'un depredador i una presa en una petita àrea rectangular. Es un programa senzill originàriament descrit per A.K. Dewdney en la revista Scientific American. El joc permet trobar els paràmetres que fan que les poblacions siguin estables quan l'àrea es fa petita.
El model de combat de Lanchester
Un model de combat simple però molt efectiu va ser desenvolupat per Lanchester en el 1916. El model es significatiu en tant en quant es útil per entendre la importància de la concentració de les tropes a la batalla. Essencialment, el guanyador del conflicte ve donat per la diferència dels quadrats de les dues concentracions. Això es coneix com la llei del combat quadràtica de Lanchester.
Model d'epidèmies de l'Èbola. Creat per The Shodor Education Foundation
(1998)
Els models d'epidèmies segueixen unes tendències determinades. El fenomen d'una epidèmia consisteix en la presència transitòria d'una malaltia infecciosa en una zona o regió de tal manera que afecta un gran nombre de persones. Per tant els models han de descriure d'alguna manera les ralacions entre els individus, al temps i l'espai per aplicar-los unes condicions de possible infecció en funció dels portadors que siguin veïns seus.